三角形是初中数学中重要的一章，而三角函数则是其中的一个核心内容。三角函数与三角形的边长关系公式是学习三角函数的重要内容。下面将介绍三角形三角函数与边长关系公式的相关内容。
一、正弦函数
1.设置一个任意的锐角三角形ABC，其中∠B为锐角
2.取AB的中垂线，设交点为D
3.连接AD，BD，CD
4.设∠BAD=x，∠ACB=y，则∠CAB=180°-(x+y)
5.正弦函数的定义式为：$\sinx=\frac{opposite\quadside}{hypotenuse}$
6.在三角形ABC中，以siny为例，因为AC为直角边，故：
$\siny=\frac{opposite\quadside}{hypotenuse}=\frac{AB}{BC}$
7.用三边比较式(sinA=sinB/sinC)可知：
$\siny=\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AD}$
8.用余弦函数可以得到：
$\cosx=\frac{adjacent\quadside}{hypotenuse}=\frac{BD}{AD}$
9.由8式，可以得到$\siny=\cosx$
二、余弦函数
1.同样设置三角形ABC，其中∠B为锐角
2.在AB上作AD垂直于BC，设AD=c，BD=b
3.余弦函数的定义式为：$\cosx=\frac{adjacent\quadside}{hypotenuse}$
4.在三角形ABC中，以cosy为例，因为AC为直角边，故：
$\cosy=\frac{adjacent\quadside}{hypotenuse}=\frac{BC}{AB}$
5.用三边比较式(cosA=cosB/cosC)可知：
$\cosy=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{BD+AD}$
6.由二项式定理可得：
$(BD+AD)^2=AB^2+c^2$
7.上式两边同除以$AB^2$，得：
$(\frac{BD}{AB}+\frac{AD}{AB})^2=1+(\frac{c}{AB})^2$
8.由勾股定理可知$c=\sqrt{AB^2-BC^2}$，代入上面的式子可以得到：
$(\frac{BD}{AB}+\frac{\sqrt{AB^2-BC^2}}{AB})^2=1+(\frac{\sqrt{AB^2-BC^2}}{AB})^2$
9.化简可得：
$\frac{BD}{AB}=\sqrt{1-(\frac{BC}{AB})^2}$
10.因此，cosy的值可以表示为：
$\cosy=\sqrt{1-(\frac{BC}{AB})^2}$
三、正切函数
1.利用三角形ABC，其中∠B为锐角
2.在AB上作AD垂直于BC，设AD=c，BD=b
3.正切函数的定义式为：$\tanx=\frac{opposite\quadside}{adjacent\quadside}$
4.在三角形ABC中，以tany为例：
$\tany=\frac{opposite\quadside}{adjacent\quadside}=\frac{AB}{BD}$
5.构造与∠ACB同侧、∠B'等于∠ACB的角B'，则$\angleBB'C=90^\circ$
6.根据勾股定理可知$BC^2=BB'^2+B'C^2=(AB-BD)^2+c^2$
7.系数相同的两个三角函数之间也是有关系的，由此可得：
$\tany=\frac{AB}{BD}=\frac{BC+BD-AB}{BD}=\frac{\sqrt{(AB-BD)^2+c^2}}{BD}+\frac{AB}{BD}-\frac{BC}{BD}$
8.由2、3得到：$\tany=\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{BC-BD}$
9.由8式与7式得到：
$\tany=\frac{\sqrt{(AB-BD)^2+c^2}}{BD}+\tanB-\frac{BC}{BD}$
10.将5式代入10式，并取y=y'则有：
$\tany'=\sqrt{(\frac{AB}{BC})^2-1}-\frac{BC}{AB}$
至此，三角形三角函数与边长关系公式的推导便完成了。需要注意的是，这些公式不仅在数学中有应用，同时在物理、工程等领域中也有着广泛的应用。掌握好这些公式可以帮助我们更好的理解和运用三角函数知识。
